Скорее да, чем нет.
ЛА-шка потребляет никак не больше 2-3 мА, с учетом всех ее нагрузок.
1,3 кОм при 30 вольтах кушают больше 20 мА, а обмотка не может выдать такой ток, вот напруга и проседает. Подцепи вместо 1,3 кОм 10-15 кОм, будет близко к реальной нагрузке по схеме, и посмотри, какое напряжение останется. Если больше 20 вольт, то стаб ставить однозначно, но не интеграл, а просто диод Зеннера вольт на 12. Погонять с полчасика, если транс не будет греться, так и оставить, если будет греться, перед стабом (последовательно с VD1) воткнуть резистор 1,0-3,0 (подобрать вместе со стабом и мелкосхемой). Но Зеннер ставить не мощный, а маленькую стекляшечку.